Mikä on WikiWiki?
nettipäiväkirja
koko wiki (etsi)
viime muutokset
Ensin puhun hieman siitä, mikä on totuuden ja todistamisen suhde. Hyppää seuraava kappale yli, jos haluat mennä suoraan todistamiseen.
Joskus sanotaan, että logiikka on oppi totuudesta, joskus taas että se on oppi todistamisesta. Nämä tarkoittavat hienovaraisesti erilaisia asioita. Todistaminen on prosessi, jossa väitteistä johdellaan toisenlaisia väitteitä. Totuus on väitteen ominaisuus. Yleensä katsotaan, että logiikka kuvaa sellaisia todistuksia (johdelmia), jotka säilyttävät väitteen totuuden eli tuottavat tosista oletuksista aina tosia johtopäätöksiä. Nämä kaksi puolta logiikasta ovat kuitenkin olemassa rinnakkain, ja uutta logiikkaa lähdetään yleensä määrittelemään jommastakummasta suunnasta: joko määritellään lauseiden totuusfunktio eli miten lausekkeelle määritetään, mikä sen totuusarvo on (totuusoppi); tai sitten määritellään sellaiset säännöt, joilla lauseista saa johtaa uusia lauseita (todistusoppi). Joskus totuusfunktionaalisesti määritellylle logiikalle on hyvin vaikeaa keksiä vastaavaa päättelysäännöstöä, kuten esim. tiettyjen peliteoreettisten logiikoiden tapauksessa.
Todistaminen on siis "väitteiden" vedenpitävää johtamista toisista. Nämä väitteet voivat olla muodoltaan monenlaisia. Arkielämän todistuksissa ne ovat yleisluontoisia kuvauksia eri tilanteista. Matemaattisissa todistuksissa ne ovat tarkasti muotoiltuja luonnollisen kielen lauseita. Loogisissa todistuksissa ne ovat universaalikielisiä symbolijonoja. Logiikan pointti on selventää ne säännöt, joilla väitteitä saa johtaa toisista; siksi logiikan päättelysäännöt on määritelty syntaktisesti eli sen perusteella, miten lauseen merkkejä (symboleita) saa uudelleenkirjoittaa saadakseen toisenlaisia lauseita.
On hyvä huomata, että on olemassa muunkinlaista uudelleenkirjoittamista kuin todistamista: uudelleenkirjoitusjärjestelmiä, jossa uudelleenkirjoitettavat symbolirakenteet eivät esitä "väitteitä" (niillä ei ole väitetulkintaa) tai jossa uudelleenkirjoitussäännöt eivät pyri säilyttämään totuutta. Monet näistä uudelleenkirjoitusjärjestelmistä pyrkivät säilyttämään ilmausten muita ominaisuuksia kuin totuuden. Esimerkiksi lambda-kalkyylin voi katsoa pyrkivän säilyttämään ilmauksissa sen, mitä funktiota ilmaus kuvaa. En kuitenkaan käsittele tällaisia uudelleenkirjoitusjärjestelmiä tässä. (Katso vaikka suuntaamattomien verkkojen uudelleenkirjoituskieli.)
Joka tapauksessa, todistamista on monenlaista. Jokainen argumentti (argumentin analysointi) on jonkinlainen yritys osoittaa jotain; jos argumentin olisi tarkoitus olla väistämätön tai vedenpitävä, se on todistus. Eri tieteenalojen edustajat suhtautuvat erilaisella vakavuudella siihen, mitä oikeastaan vaaditaan, jotta todistus olisi vedenpitävä. Erittäin pitävä todistus on erittäin tarkka siinä suhteessa, että siinä yksityiskohtaisesti osoitetaan, mitkä ovat ne alkuoletukset, joista johtopäätös todistetaan, ja miten todistaminen etenee.
Edes matematiikan todistukset eivät ole lähes koskaan tällaisia. Matematiikassa jätetään usein mainitsematta, mitä saa pitää itsestäänselvyytenä ja mitä ei. Usein todistus tehdään ensin intuitiivisesti ja myöhemmin muodollisemmin, eli jälkikäteen etsitään ne aksioomat (alkuoletukset), joista lopputulos on johdettavissa. Usein tämä aksiomatisointi on siinä mielessä arvokasta, että sen ohessa huomataan käytetyn lähtöoletuksia, joita ei intuitiivisessa todistuksessa olisi huomannut. Kun aksioomat ovat selvillä, herää kysymys: mitkä näistä aksioomista voisivat olla epätosia? Moni uusi matematiikan ala on saanut alkunsa siitä, että jokin aksiooma on korvattu toisella (tai poistettu) ja katsottu, mitä siitä seuraa todistuksille. Jokainen aksioomien joukko virittää oman maailmansa, jossa on omat sääntönsä. Jännittäväksi tällaisen maailman tutkimisen tekee se, että usein aksioomat ovat hyvinkin intuitiivisia ja niinpä kyseisen teorian väitteiden voi katsoa oikeasti kertovan jotain kokemusmaailmastamme.
Joskus törmää myös todistukseen, jossa aksiomat sinänsä on lueteltu selkeästi, mutta johtopäätösten tekoprosessi ei ole syntaktinen vaan päätelmät tehdään luonnollisella kielellä. Tällaisen todistamisen heikkous on se, että jokaiseen päättelyaskeleeseen voi livahtaa joitain erikseen mainitsemattomia pohjaoletuksia lisää: se, että päättelyaskeleet tehdään luonnollisella kielellä, tekee lähes mahdottomaksi varmistaa, että päättelyaskeleet on otettu luotettavien sääntöjen mukaan.
Mutta äärimmäisen tarkan ja luotettavan todistuksen arvo ei ole siinä, että lopputulokset olisivat sen varmempia. Varmimmassakin todistuksessa on mielivaltaiset aksioomat, samoin kuin ne säännöt, joilla väitteitä johdellaan toisistaan. Aksioomien ja sääntöjen tarkempi muotoilu ei yleensä paranna niiden luotettavuutta, vaan pikemminkin vie niitä kauemmas kokemusmaailmasta ja hankaloittaa niiden "ymmärtämistä". Aksiomatisointi on tärkeää ääneen sanomattomien pohjaoletusten löytämiseksi, ei siksi, että saataisiin lisää voimaa päätelmän johtopäätöksille. Paras, mitä tarkkojen, aksiomaattisten teorioiden tutkiminen voi tuottaa, on "epiteoreemoja", todistettuja väitteitä näiden teorioiden ominaisuuksista, kuten vaikkapa että tietty logiikka on ristiriitainen. Nämä todistukset tehdään edelleen tietyllä tavalla, joka voidaan aksiomatisoida... ei ole varmaa perustaa, jolle kaiken päättelyn voi laskea. Edes kokemus ei ole kaikille ihmisille sama, ja siinä, missä yksi näkee, että äärettömään hotelliin voi aina lisätä vieraan, toinen katsoo että täysi ääretön hotelli on täysi.