Mikä on WikiWiki?
nettipäiväkirja
koko wiki (etsi)
viime muutokset
Tämä ei ole virallinen logiikan oppiteksti. Kerron logiikasta sen, mitä siitä minun mielestäni on hyvä tietää. Niissä kohdissa, joissa kyse ei ole mielipiteestä, yritän toki kirjoittaa totta.
Logiikat ovat kielellisiä teorioita. Ne käsittelevät universaalikielisiä ilmauksia. Logiikat ovat näiden ilmausten uudelleenkirjoitusjärjestelmiä. Yksi logiikka (kuten teoriat yleensäkin) kertoo, millaisia ilmauksia on olemassa, ja millaisia ilmauksia mistäkin ilmauksesta saa johdella. Esimerkiksi lauselogiikka (PL) kertoo, että ilmauksesta (and p q) voi johtaa ilmauksen p. (Tämä notaatio on epästandardi: olen viime aikoina käyttänyt paljon LISPiä logiikan parissa työskentelemiseen, joten käytän LISP-mäisiä notaatiota. Sitä paitsi se toimii hyvin, vaikka merkistöstä puuttuisivat normaalit logiikkasymbolit.)
Logiikan tarkoitus on antaa tarpeeksi voimakas (= paljon tuloksia tuottava) uudelleenkirjoitussäännöstö, jotta kaikki muut teoriat voi esittää logiikan määrittämän kielen lauseina ja johdella niiden seuraukset logiikan säännöillä (todistus). Tyypillisesti logiikan ainoa varsinainen uudelleenkirjoitussääntö on modus ponens (MP) niin sanottujen sievennyssääntöjen lisäksi: MP kertoo, että ilmauksesta (and q (suff p q)) voidaan johtaa ilmaus p. Kaikki muut uudelleenkirjoitukset määritetään suff-ilmauksina ("implikaatioina"). Esimerkiksi luonnollisten lukujen epäaito pienemmyysjärjestys voidaan määrittää seuraavana ensimmäisen asteen predikaattilogiikan (FOL) ilmauksena: (forall (x y) (and (<= 0 y) (suff (<= (succ x) (succ y)) (<= x y)))). Aito voidaan taas määrittää tämän perusteella seuraavasti: (forall (x y) (suff (< x y) (<= x y) (not (<= y x)))).
Mutta mitä tahansa ilmausten uudelleenkirjoitusjärjestelmää ei vielä ole tapana kutsua logiikaksi: muuten esimerkiksi jokainen tietokoneohjelma olisi "logiikka" joka uudelleenkirjoittaa tietokonemuistin tiloja (jotka ovat universaalikielisiä ilmauksia) toisiksi. Logiikalla on kaksi keskeistä lisäominaisuutta:
Logiikan uudelleenkirjoitussäännöt siis virittävät ilmausten välille suhteen: se, että tietty logiikka taipuu ilmauksen a kirjoittamiseen b:ksi, tarkoittaa, että b on ainakin yhtä totta / relevanttia / havainnon tukemaa / hyödyllistä / ms. kuin a. Tämä suhde on osittaisjärjestys, eli jos c on vähintään yhtä totta kuin b ja b on vähintään yhtä totta kuin a, niin c on vähintään yhtä totta kuin a (samaten muille ominaisuuksille). Osittaisjärjestysten teoria sinänsä on mielenkiintoinen ja monipuolinen, ja siihen perustuu suurin osa kaikesta päättelystä. Osittaisjärjestyksen yleistystä, nuolta, tutkii kategoriateoria.
suff-konnektiivi (materiaalinen implikaatio) ilmaisee samaa osittaisjärjestystä, jonka logiikan uudelleenkirjoitussäännöt virittävät: se, että a voidaan uudelleenkirjoittaa b:ksi tarkoittaa samaa, kuin että (suff b a) on kyseisen logiikan teoreema. Siksi MP on keskeisin uudelleenkirjoitussääntö: se takaa, että mikä tahansa muu uudelleenkirjoitussääntö voidaan ilmaista logiikan sisällä, sen ilmauksena. Voidaan sanoa, että suff-ilmaus on reifioitu eli asiaksi (tässä tapauksessa ilmaukseksi) muutettu uudelleenkirjoitussääntö. Kategoriateoriassa kategorioita, joissa nuolet on reifioitu eli jokaista nuolta kohden on olemassa olio, sanotaan karteesisesti suljetuiksi. Useimpien (totuus)logiikoiden lauseet muodostavat karteesisesti suljetun kategorian, ja niiden melkein kaikki päättelysäännöt (myös MP) seuraavat tästä.
Vaikka logiikalle on annettavissa teoreettisia perusteita toisilla teorioilla, logiikka on alun perin muodostunut tarkastelemalla kielen toimintaa: logiikka, kieli ja maailma.
Päättelysäännöt, jotka eivät seuraa suoraan kategoriateoriasta, ovat totuuden ja epätotuuden olemassaolo (ilmauksina), ex falso quodlibet ja sen seuraukset, poissuljetun kolmannen laki sekä kaksoisnegaation eliminointi. Koska nämä kaikki ovat jonkin verran negaatioon liittyviä, katso miksi negaatio on ongelmallinen.
Logiikkaa, joka pudottaa pois ex falso quodlibet -säännön, sanotaan parakonsistentiksi. Parakonsistentti logiikka tekee mahdolliseksi päätellä myös ristiriitaisista lähtökohdista (klassisessa logiikassa ristiriitaiset lähtökohdat johtavat siihen, että kaikki on totta), ja hankaloittaa epäsuoraa todistusta eli todistusta sen perusteella, että väitteen vastakohta on ristiriitainen.
Logiikka on siis teoria siitä, mitä ilmauksia on olemassa, ja miten niitä saa uudelleenkirjoittaa. Kaikenlaiset ohjeet siitä, miten näitä ilmauksia ja sääntöjä käytetään, ovat metalogiikkaa (minun termini). Ennen kaikkea ketjuja, joissa (totuus)logiikan tosiksi oletetuista lausekkeista johdellaan toisia, sanotaan deduktioiksi, ja ketjuja, joissa toivotulle lopputulokselle etsitään uudelleenkirjoitusketjua, jotka sen tuottaisi, sanotaan reduktioiksi. Melkein kaikki logiikkaa hyödyntävät järjestelmät (kuten GOFAI) tekevät molempia; joskus niitä sanotaan myös edelleenketjuttamiseksi ja takaisinketjuttamiseksi.
...
kategoria: keskeneräiset kategoria: filosofia kategoria: kieli
Pikalinkit: