Mikä on WikiWiki?
nettipäiväkirja
koko wiki (etsi)
viime muutokset
Negaatioon, eli käytännössä ei-sanaan ja mahdollisuuteen osoittaa asiaintiloja / yksilöitä, joille tietty ehto ei täyty, liittyy logiikassa paljon kritiikkiä. Tämä on jyrkässä kontrastissa muihin operaatioihin, konjunktioon (ja-sanaan) ja disjunktioon (tai-sanaan), joiden merkityksellisyyttä ei juurikaan kyseenalaisteta. Tosin intuitionistit ovat antaneet disjunktiolle uuden, hiukan erilaisen merkityksen, mutta toki hyväksyneet sen merkitykselliseksi sanaksi.
Mutta miksi negaatio on niin erityinen, mitä ihmeellisempää on sanassa "ei" kuin sanoissa "ja" tai "tai"? Logiikassa nämä sanat eivät vastaa tarkalleen arkikielistä käyttöä. Niille on annettu tarkka merkitys, joka vastaa (erityisesti ja-sanalla) varsin hyvin ihmisten intuitiota kyseisen sanan merkityksestä. Logiikassa ilmaisu "p ja q" (p ja q molemmat mielivaltaisia ilmaisuja) tarkoittaa tilannetta, jossa sekä p että q pitävät paikkansa. Samoin ilmaisu "p tai q" tarkoittaa tilannetta, jossa p tai q (tai sekä p että q) pitää paikkansa. Ja "ei p" tarkoittaa tilannetta, jossa p ei pidä paikkaansa. Jeh?
Ja entä sitten? No, muodollisessa mielessä "tilanne, jossa X" tarkoittaa niiden erilaisten asiaintilakokonaisuuksien ("maailmojen") joukkoa, jotka täyttävät ehdon X. Esimerkiksi ilmauksen "tilanne, jossa kaikki ihmiset ovat onnellisia" tarkoite on kaikki ne erilaiset asiaintilat, joissa kaikki ihmiset todella ovat onnellisia, näiden asiaintilojen joukko. (Jonkun mielestä kyseinen joukko on tyhjä eli sellaisia asiaintiloja ei ole olemassa, joissa kaikki ihmiset ovat onnellisia. En ota tähän kantaa.)
Konjunktio ja disjunktio ovat konstruktiivisia. Jos meillä on niiden asiantilojen joukko, jotka täyttävät ehdon p, ja niiden asiantilojen joukko, jotka täyttävät ehdon q, meillä on menetelmä sen joukon muodostamiseksi, joka täyttää ehdon "p ja q": käydään läpi jokainen toisen joukon asiaintila ja katsotaan, onko se myös toisessa joukossa. Jos on, se kuuluu tulosjuokkoon. Samanlainen menetelmä on mahdollinen sen joukon muodostamiseksi, joka täyttää ehdon "p tai q": tulosjoukkoon kuuluu jokainen toisen joukon asiaintila sekä toisesta vielä ne, jotka eivät ensimmäisessä olleet.
Entä, jos meillä on joukko asiaintiloista, jotka täyttävät ehdon p, voimmeko muodostaa joukon asiaintiloista, jotka täyttävät ehdon "ei p"? Emme voi. Ei ole tarjolla mitään joukkoa, josta voisimme poimia asiaintilat, jotka eivät kuulu p:n määrittelemään joukkoon. On huomattava, että ilmaus "q mutta ei p" (kontekstuaalinen negaatio) on ongelmaton: käydään läpi q:n määrittelemän joukon asiaintilat ja poimitaan tulosjoukkoon ne, jotka eivät löydy p:n määrittelemästä joukosta. Vain universaali negaatio on epäkonstruktiivinen: sen merkitys riippuu täydelleen siitä, mitä kaikkia asiaintiloja katsotaan "olevan olemassa". Eikä ole ollenkaan selvää, mitä tarkoittaa, että jokin asiaintila "on olemassa".
Negaation ongelmat koskevat myös universaalikvantifikaatiota ("kaikille asioille pätee että...") sekä yksilöpoimintaa ("kaikki sellaiset asiat, jotka..."). Nämä molemmat on myös mahdollista korjata samoilla keinoin.
Tämä saattaa kuulostaa hiusten halkomiselta ja ehkä onkin sitä, sillä kun ihmiset käyttävät sanaa "ei", se on aina kontekstuaalinen, vaikkei konteksti ehkä olekaan mainittu tai selkeä. Esimerkiksi jos sanon: "minulla ei ole kylmä", tarkoitan aktuaalisen asiaintilan kuuluvan siihen joukkoon, jossa asiat ovat kaikenkaikkiaan niin kuin havaittavissa on mutta minulla ei ole kylmä. En tarkoita että ehkä asiaintila on sellainen että olen kuollut eikä minulla ole kylmä tai muitakaan kontrafaktuaalisia asiaintiloja. Jopa vaikka sanoisin: "olisi hauskaa, jos pelkoa ei olisi olemassa", viittaan sillä asiaintiloihin, jotka enimmäkseen muistuttavat omaa maailmaamme mutta joissa pelkoa ei ole.
Arki-ei on siis aina kontekstuaalinen. Mutta jos haluamme saada tällaisen ei-sanan tarkkaan, loogiseen käyttöön, meidän pitää jotenkin määritellä jokaisen negaation konteksti. Yksinkertaisin tapa tähän on päättää mielivaltainen konteksti, "kaikkien mahdollisten asiaintilojen joukko", joka pätee jokaiselle negaatiolle. Tämä ratkaisu muistuttaa erästä tapaa, jolla ratkaistaan Russellin paradoksi: logiikan lausekkeita vastaavat asiat (yksilöoliot) valitaan tietystä "kaikkien olemassaolevien asioiden joukosta", ja mikäli poimintalauseke johtaa ristiriitaan jonkin tietyn asian kohdalla, tätä voidaan käyttää todistuksena sille, ettei kyseistä asiaa voi olla olemassa (se ei kuulu kaikkien olemassaolevien asioiden joukkoon).
Toinen mahdollisuus on hyväksyä, että on olemassa kahdenlaisia joukkoja: "suljettuja", jotka on määritelty sen perusteella, mitä niihin kuuluu, ja "avoimia", jotka on määritelty sen perusteella, mitä niihin ei kuulu. Näille joukoille on muodostettavissa konstruktiivinen kalkyyli, joka on kaunis ja symmetrinen. Ongelma on vain se, että avoimet joukot eivät vastaa mitään, mistä meillä olisi intuitiivisesti mitään tuntumaa. Sen vuoksi niiden ominaisuuksia on vaikea perustella vastaavuudella maailman kanssa.
Esimerkiksi käy kaksoisnegaatio. Kontekstuaalisella negaatiolla "ei ei p" tarkoittaa samaa kuin p, mikäli molempien negaatioiden konteksti on sama: ensin otetaan kontekstijoukosta ne, jotka eivät kuulu p:n määrittelemään joukkoon, sitten poimitaan taas ne, jotka eivät kuulu tähän joukkoon. On selvää, että saadulla joukolla on samat jäsenet kuin alkuperäisellä p:n määrittelemällä joukolla (paitsi mikäli jotkin p:n määrittelemän joukon jäsenistä eivät kuulu kontekstiin eli konteksti on liian "pieni" p:n negaatioon). Mutta tämä ei välttämättä päde negaatiolle, joka tuottaa avoimia joukkoja; toki voimme vain tylysti määritellä, että "ei ei p" on sama joukko kuin p, mutta yhtä hyvin tuloksena voikin olla jokin kolmannen tyyppinen (superavoin?) joukko, joka ei ole sama kuin p (joka on suljettu). Koska avoimet joukot eivät vastaa mitään maailmassa olevaa, on vaikea perustella suuntaan tai toiseen.
Avointen joukkojen suhteen ei voi olla edes varma, ovatko niihin "kuuluvat" asiat (siis kaikki muut kuin ne, joista erikseen tiedetään, että ne eivät kyseiseen joukkoon kuulu) "järkeviä" poimintaehtolausekkeen kannalta. Ei ole siis mitään takeita siitä, että avoin joukko on jotain ristiriidatonta.
Tietyillä erityisalueilla on mahdollista määritellä konstruktiivisesti yleiskonteksti. Esimerkiksi joissain (hyvin muodollisissa) teorioissa, malliteorioissa, on määritelty, mitä asiaintiloja on olemassa. Samoin tietyissä malliteorioissa on määritelty, mitä asioita (yksilöolioita) on olemassa (esimerkiksi kokonaisluvut), jolloin sellaiset ilmaukset kuin "kaikki, mikä ei ole 3" ovat konstruktiivisia. Teoriaa, jossa kaikille ilmauksille annetaan määrittelyjoukko, sanotaan tyyppiteoriaksi. Se on yksi lähestymistapa Russellin paradoksin korjaamiseen ja tärkeä tutkimussuunta kielitieteellisesti sekä laskennan teorian kannalta.
Avointen joukkojen teoriassa on sellainen jännä piirre, että se antaa formalisoinnin sille, mikä on merkityksetön ilmaus (ei kuvaa minkään tietynlaista tilannetta). Tiettyjen ilmausten määrittelemät joukot ovat avoimia ja toisten suljettuja. Esimerkiksi ilmaus "ei sada eikä (ts. ja ei) näy mitään" määrittää avoimen joukon ja niinpä esimerkiksi tilanne, jossa maailmankaikkeus on puolipiste, "kuuluu" sen tarkoitteeseen. Sen sijaan ilmaus "sataa eikä näy mitään" määrittää suljetun joukon, ja sen kuvaamassa tilanteessa on välttämättä olemassa jotain, mikä mahdollistaa sateen.
Pieni loppunootti: atomisten ilmausten (kuten "sataa", "1<2" tai "punainen talo") konstruktiivisuus ei ole itsestäänselvyys. Ne sisältävät eräänlaisen implisiittisen universaalikvantifikaation, jolla on arkikielessä implisiittinen konteksti. Atomisten ilmausten semanttinen teoria edellyttää myös näiden kontekstien selventämistä tai jotain tapaa määritellä ilmausten tarkoitteet muina kuin joukkoina, esim. intensionaalisesti.