Mikä on WikiWiki?
nettipäiväkirja
koko wiki (etsi)
viime muutokset
Oletetaan, että meillä on kaksi (ei välttämättä toisistaan riippumatonta) tapahtumaa, x ja y, sekä niillä todennäköisyydet P(x) ja P(y).
P(x)
,___________________>
| |
| P(x&y) | P(!x & y)
P | |
(y)|________|_
|P(x&!y)/ \_______
| /
| / P(!x & !y)
v
(Tämä on siis mukamas P(x) P(y):n "toteutumisasteen" funktiona ja päin vastoin. Kuva ei ole täysin epäharhaanjohtava, mutta sen voi jättää huomiotta.)
Nyt tietysti P(x) = P(x&y)+P(x&!y) (kaikkien mahdollisuuksien luettelu), ja P(x|y) (todennäköisyys x:lle y:n ollessa tosi) = P(x&y)/P(y) (alajoukon osuus mahdollisuusavaruudesta).
Bayesiläinen kaava näyttää, että
P(x|y) = P(x&y)/P(y)
= P(x&y)P(x)/P(y)P(x)
= P(y|x)P(x)/P(y) (P(y|x):n määrittelyn nojalla)
Tämä tarkoittaa, että jos meillä on teoria x ja havainto y, teorian todennäköisyys havainnon pohjalta riippuu kolmesta parametrista: ennusteesta, jonka teoria antaa ilmiön todennäköisyydestä (P(y|x)) mukaanlukien mahdollinen virhehavainnointi, teorian itsensä todennäköisyydestä (vapaasti arvioitavissa), sekä varsinaisesta todennäköisyydestä saada kyseinen tulos, jossa on laskettu mukaan mahdollisuus, ettei teoria pidä paikkaansa.
Jos virhehavainnon todennäköisyys on 5% ja P(teoria) = 70%, P(havainto|teoria) = 95% jos teoria ennustaa havainnon ja 5% jos ei ennusta ja P(havainto) = P(havainto kun teoria tosi) + P(havainto kun teoria epätosi), jolloin
P(teoria|vahvistava havainto) = 0.95 * 0.7 / (0.95 * 0.7 + 0.05 * 0.3)
= 0.978... ja
P(teoria|vastustava havainto) = 0.05 * 0.7 / (0.05 * 0.7 + 0.95 * 0.3)
= 0.11...
Mallissa olennaisen tärkeää on arvio virhehavainnon todennäköisyydestä. Se vaikuttaa siihen, kuinka nopeasti tulokset konvergoivat kohti ykköstä ja nollaa. Kun bayesiläistä analyysia sovelletaan teoriakokonaisuuksiin, niiden osien olennaisuutta teorian paikkansapitävyydessä pitää arvioida.
Tässä on myös epäilyttävä oletus, että P(havainto & !teoria) on vain virhehavainnon todennäköisyys, vaikka itse asiassa havainto saattaisi aiheutua monesta muustakin syystä ja siksi on vaikea sanoa, kuinka suuri P(havainto & !teoria) oikeasti on.
P(teoria|havainto) riippuu kolmesta parametrista:
Tämä viimemainittu kiusaa minua.